费马定理

\begin{align*} {设函数}f(x) {在点} x_0 {的某邻域} U(x_0) {内有定义，且在} x_0 {处可导。若对任意} x \in U(x_0) \end{align*}

有：

\begin{align*} f(x) \leq f(x_0) \quad \text{（或} \ f(x) \geq f(x_0)\text{）} \end{align*}

则：

\begin{align*} f'(x_0) = 0 \end{align*}

证明：
对于

\begin{align*} x_0 + \Delta x \in U(x_0)， \end{align*}

有

\begin{align*} f(x_0 + \Delta x) \leq f(x_0) \\ \end{align*}

当 $$\Delta x > 0$$ 时：

\begin{align*} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \leq 0 \quad \text{（右导数非正）} \end{align*}

当 $$\Delta x < 0$$ 时：

\begin{align*} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \geq 0 \quad \text{（左导数非负）} \end{align*}

由可导性知左右导数相等，故 $$f’(x_0) = 0$$。

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罗尔定理

若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 \xi{(a < ξ < b)} 使得 $f'(\xi) = 0$。

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拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b) 使等式

\begin{align*} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \end{align*}

成立

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证:

1. 构造辅助函数ψ(x)，等于f(x)曲线跟直线AB之间的垂直距离:

有

$\psi(a)=\psi(b)=0$

设直线AB的方程为y=L(x),则

\begin{align*} L(x) = f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \end{align*}

由于M,N的纵坐标为f(x)及L(x)，有:

\begin{align*} \psi(x)=f(x)-L(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right] \quad (1) \end{align*}

2. 验证罗尔定理条件:

• ψ(x)在[a,b]上连续
• ψ(x)在(a,b)内可导
• ψ(a)=ψ(b)=0

对(1)式求导:

\begin{align*} \psi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

3. 应用罗尔定理:
   在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)使得ψ’(ξ)=0,即:

\begin{align*} f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \end{align*}

从而得到:

\begin{align*} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \quad (2) \end{align*}

4. 推论:
   如果函数f(x)在区间I上的导数恒为0，那么f(x)在区间I上是一个常数。

证明:
由(2)式，当$ f’(ξ)=0 $时，有f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)。由于a,b是I上任意两点，故f(x)在I上为常数。

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注:

1. 式(2)表明存在点ξ处的切线斜率等于弦AB的斜率
2. 辅助函数ψ(x)的构造是关键，它表示曲线与弦的垂直距离
3. 当f(a)=f(b)时，即为罗尔定理的特殊情形

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柯西中值定理

若函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $\forall x \in (a,b), F'(x) \neq 0$，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得：

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \quad \text{（两函数变化率之比相等）} \end{align*}

证:
f(x),F(x)应用(2)式，上下一除即可

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洛必达法则

定理1（$x \to a$ 型）：
若：

\begin{align*} &1. \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} F(x) = 0 ； \\ &2. 在 a 的去心邻域内 f'(x), F'(x) 存在且 F'(x) \neq 0； \\ &3. \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} 存在（或为无穷大）， \\ \end{align*}

则：

\begin{align*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} \end{align*}

定理2（$x \to \infty$ 型）：
将定理1中的 $x \to a$ 改为 $x \to \infty$，条件类似。

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重要极限例子

1. 对数函数与幂函数：

\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^n} &= \lim_{x \to \infty} {f'(x) \over F'(x)} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{n x^{n-1}} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n x^n} \\ &= 0 \quad \text{（对数增长慢于幂函数）} \end{align*}

2. 幂函数与指数函数：

\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}} &= \lim_{x \to \infty} {f'(x) \over F'(x)} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{\lambda e^{\lambda x}} \\ &= \cdots \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{\lambda^n e^{\lambda x}} \\ &= 0 \quad \text{（指数增长快于幂函数）} \end{align*}

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泰勒公式

泰勒中值定理：

\begin{align*} 若 f(x) 在含 x_0 的开区间 (a,b) 内有直到 (n+1) 阶导数，则对任意 x \in (a,b) 有： \end{align*} \begin{align*} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots \\ &\quad + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \end{align*}

其中余项：

\begin{align*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \quad \text{（$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）} \end{align*}

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定义

微分的基本概念：

\begin{align*} \Delta y &= f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \quad \text{（函数增量）} \\ \Delta y &= A \Delta x + o(\Delta x) \quad \text{（线性近似+高阶无穷小）} \end{align*}

微分表达式：

\begin{align*} dy = y'_x(x)dx = f'(u)g'(x)dx \quad \text{（链式法则微分形式）} \end{align*}

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复合函数的微分法则

乘法法则的微分形式：

\begin{align*} d(uv) &= (uv)'dx \\[5pt] \text{∵}\quad (uv)' &= u'v + v'u \quad \text{（乘积导数法则）} \\[5pt] u'dx &= du \\[5pt] v'dx &= dv \\[5pt] \text{∴}\quad d(uv) &=(u'v+v'u)dx \\ &=u'vdx+v'udx \\ &= vdu + udv \quad \text{（微分乘积法则）} \\ \end{align*}

复合函数示例：

\begin{align*} y &= \sin(2x+1) \\ dy &= d(\sin u) = \cos(2x+1)d(2x+1) \\ &= \cos(2x+1) \cdot 2dx = 2\cos(2x+1)dx \text{（先外函数后内函数）} \end{align*}

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近似计算原理

线性近似公式：

\begin{align*} \text{∵} \Delta y=f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)&\approx dy = f'(x_0)\Delta x \quad \text{（用切线近似函数）} \\[5pt] \text{∴} f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x \\[5pt] for \ x=(x_0 + \Delta x): \\[5pt] f(x) &\approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \quad \text{（泰勒展开一阶项）} \end{align*}

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常用近似公式（当|x|很小时）：

1. n次方根：

   \begin{align*} \sqrt[n]{1+x} \approx f(0) + f'(0)x (x - 0) =1 +(\frac{1}{n})(x) = 1 + \frac{1}{n}x \end{align*}

   如 $$\sqrt{1.02} \approx 1.01$$

2. 正弦函数：

   \begin{align*} \sin x \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + \cos(0)x = x \end{align*}

   小角度时正弦值≈弧度值

3. 正切函数：

   \begin{align*} \tan x &= \frac{\sin x}{\cos x} \\[5pt] \text{∵}\quad \tan'x &= \frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x} = \sec^2x \\[5pt] \text{∴}\quad \tan x &\approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x \end{align*}

   小角度时正切值≈弧度值

4. 指数函数：

   \begin{align*} e^x \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x \end{align*}

   如 $$e^{0.01} \approx 1.01$$

5. 对数函数：

   \begin{align*} \ln(1+x) \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x \end{align*}

   如 $$\ln(1.02) \approx 0.02$$

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对于幂函数：

\begin{align*} &y=x^n \\ &y' = n x^{n-1} \\ &y''=n(n-1)x^{n-2} \\ &...\\ &y^{(m)}=n(n-1)...(n-m+1) x^{(n-m)}=n!/m! x^{(n-m)} \\ if \ n=m: \\ &y^{(n)}=n! \end{align*}

莱布尼兹公式:

\begin{align*} (uv)^{(n)} = \sum^n_{k=0}C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)} \end{align*}

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\begin{align*} (1)\ & [u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \\[10pt] (2)\ & [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\[10pt] (3)\ & \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{align*}

证明

(1) 加减法则

\begin{align*} [u(x) \pm v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) \pm v(x + \Delta x)] - [u(x) \pm v(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) - u(x)] \pm [v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \\ &= u'(x) \pm v'(x) \end{align*}

(2) 乘法法则

\begin{align*} [u(x)v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x + \Delta x) + u(x) \cdot \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right] \\ &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \end{align*}

(3) 除法法则

\begin{align*} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x + \Delta x)} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{[u(x + \Delta x) - u(x)]v(x)}{\Delta x} - \frac{u(x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} }{v(x)v(x + \Delta x)} \\ &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{align*}

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反函数的导数

\begin{align*} [f^{-1}(x)]' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}} = \frac{1}{f'(y)} \end{align*}

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复合函数导数

\begin{align*} y &= f(u) \\ u &= g(x) \\ y &= f[g(x)] \\[10pt] \frac{dy}{dx} &= f'(u) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \end{align*}

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隐函数求导

例1

\begin{align*} x + y^3 - 1 &= 0 \\ 1 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} &= 0 \end{align*}

例2

\begin{align*} e^y + xy - e &= 0 \\ e^y \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} &= 0 \end{align*}

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参数方程导数

运动学示例

\begin{align*} \begin{cases} x = v_1 t \\ y = v_2 t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \end{align*}

一般形式

\begin{align*} \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \end{align*}

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初等函数的导数推导

1. 幂函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)=x^n}$$ 在 $x=a$ 处的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{(x^n-ax^{n-1}) + (ax^{n-1}-a^2x^{n-2}) + \cdots + a^{n-1}x-a^n}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \left[(x^{n-1}) + (ax^{n-2}) + \cdots + a^{n-1}\right] \\ &= \lim_{x\to a} (x^{n-1}) + \lim_{x \to a} (ax^{n-2})...+\lim_{x\to a} a^{n-1} \\ &= na^{n-1} \end{align*} \begin{align*} \therefore f(x)=x^n \\ f'(x) = n x^{n-1} \end{align*}

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2. 正弦函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= \sin x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2\sin\left(\frac{h}{2}\right)\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\right) \\ &= \cos x \end{align*}

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3. 余弦函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= \cos x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(\frac{h}{2}\right)\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= -\lim_{h\to 0} \left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\right) \\ &= -\sin x \end{align*}

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4. 指数函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= a^x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \textcolor{red}{a^x \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}} \\ &= \textcolor{red}{a^x \ln a} \end{align*}

推导关键步骤：
令 $$t = a^h - 1$$，则：

\begin{align*} a=log_a (t+1) \end{align*} \begin{align*} 此时有: \textcolor{red}{ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{\log_a(t+1)} = \ln a} \end{align*}

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5. 对数函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= \log_a x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\log_a(x+h) - \log_a x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} {log_a \ {(x+h) \over x} \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{x} \cdot \textcolor{red}{\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}} \\ &\textcolor{red}{= \frac{1}{x \ln a}} \end{align*}

特例：当 $a=e$ 时，

$f(x)= ln \ x$

\begin{align*} & f'(x) =(\ln x)' = \frac{1}{x} \end{align*}

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等比公式：

\begin{align*} S_n=a_1(1-q^n)/(1-q) \end{align*}

等差公式：

\begin{align*} S_n=(a_1+a_n)n/2=na_1+n(n-1)d/2 \end{align*}

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排列组合：

排列

\begin{align*} A^m_n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \end{align*}

组合

\begin{align*} C^m_n={A^m_n \over m!}={n(n-1)(n-2)...(n-m+1)\over m!}={n! \over m!(n-m)!} \end{align*}

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牛顿二项式

\begin{align*} (a+b)^n=\sum^n_{k=0}C^k_nx^k \end{align*}

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三角函数

\begin{align*} \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) \therefore \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \end{align*} \begin{align*} \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)s\in(\beta) \therefore \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) \end{align*}

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对数函数

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e的定义

\begin{align*} \lim_{x\to \infty} (1+{1 \over {n}})^n=e \end{align*}

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