概率2-连续型随机分布律

2019 年 10 月 28 日分類基础, 数学

1,均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度

\begin{align*} f(x)= \begin{cases}{1 \over {b-a}} ,a < x < b,\\0\end{cases} \end{align*}

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X〜U(a,b)

分布函数：

\begin{align*} F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases} \end{align*}

2. 指数分布

若连续型随机变量X具有概率密度：

\begin{align*} f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{align*}

其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。

易知f(x)≥0，且：

\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}f(x)dx = \left[-e^{-x/\theta}\right]^\infty_0 = 1 \end{align*}

分布函数：

\begin{align*} F(x)= \begin{cases} 1-e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{align*}

服从指数分布的随机变量X具有无记忆性：
对于任意s,t>0，有

$P\{X>s+t|X>s\} = P(X>t)$

证明：

\begin{align*} P\{X>s+t|X>s\} &= \frac{P\{X>s+t\} \cap P\{X>s\}}{P\{X>s\}} \\ &= \frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}} \\ &= \frac{1-F(s+t)}{1-F(s)} \\ &= \frac{e^{-(s+t)/\theta}}{e^{-s/\theta}} \\ &= e^{-t/\theta} \\ &= P\{X>t\} \end{align*}

3. 正态分布

若连续型随机变量X具有概率密度：

\begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{align*}

其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布，记为X～N(μ,σ²)。

显然f(x)≥0，下面证明：

\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}f(x)dx = 1 \end{align*}

令 $t = \frac{x-\mu}{\sigma}$ ，则：

\begin{align*} σ=(x-μ)/t, t'(x)=1/σ \end{align*}

得到:

\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx &=\int^\infty_{-\infty}{1 \over {\sqrt{2 \pi}}(x-μ)/t}e^{-t^2 \over 2}dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{align*}

记：

\begin{align*} I = \int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{align*}

则有：

\begin{align*} I^2 = \int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \end{align*}

利用极坐标变换：

\begin{align*} I^2 = \int^{2\pi}_0\int^\infty_0 re^{-\frac{r^2}{2}}drd\theta = 2\pi \end{align*}

（p55）

附：

计算：

\begin{align*} \iint_D^\infty e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy \end{align*}

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概率1-离散型随机分布律

2019 年 10 月 28 日分類基础, 数学

１.不放回抽样表达式:

a件产品中抽取n件（不放回），则可能的取法有

\begin{align*} \left( \begin{matrix} a\\ n \\ \end{matrix} \right) =C^n_a=A^n_a/n!= { {a(a-1)...(a-n+1)} \over n!} ={a! \over n!(a-n)!} \end{align*}

伯努利试验,二项分布

设试验E只有两种可能结果:A及非A,则称E为伯努利试验，设P(A)=p (0<p<1),此时P(非A)=1-p.将E独立重复地进行N次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

标记为
X〜b(n,p).

\begin{align*} P\{X = k\}=\left( \begin{matrix} n\\ k \\ \end{matrix} \right) p^k q^{n-k} \end{align*}

当n=1时，化为二项分布：

\begin{align*} P\{X = k\}= p^k q^{1-k} \end{align*} \begin{align*} \sum_{k=0}^n P\{X = k\}=\sum_{k=0}^n {\left( \begin{matrix} n\\ k \\ \end{matrix} \right) } p^k q^{n-k} =(p+q)^n=1 \end{align*}

泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,2而取各个值的概率为

\begin{align*} P\{X=k\}={λ^ke^{-λ} \over {k!}} ,k=0,1,2,..., \end{align*}

其中λ>0是常数.则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X〜π(λ).

易知,P{X=k}≥0,k=0,1,2,…,且有

\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty P\{X = k\}=\sum_{k=0}^\infty {λ^ke^{-λ} \over {k!}}=e^{-λ}\sum_{k=0}^\infty {λ^k\over {k!}}=e^{-λ}e^λ=1 \end{align*}

倒数第二步是泰勒级数(见附表)

泊松定理 设λ>0是一个常数,n是任意正整数,设np=λ,则对于任一固定的非负整数k，有

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\color{red}\lambda^k \color{purple}e^{-\lambda}}{\color{red}k!}. \end{align*}

证由

\begin{align*} p_n= {λ \over n} \end{align*}

,有

\begin{align*} {\left( \begin{matrix} n\\ k \\ \end{matrix} \right)}p^k_n(1-p_n)^{n-k}&={\color{blue}{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)} \over {\color{red}k!}}{({\color{red}{λ} \over \color{blue}n})^k}{(1-{λ \over n})^{n-k}} \\ &={\color{red}{λ^k \over k!}}{[\color{blue}1 \cdot ({1-{1 \over n})}\cdot ({1-{2 \over n})...(1-{(k+1) \over n})}}]{\color{purple}(1-{λ \over n})^{n}}{(1-{λ \over n})^{-k}} \end{align*}

对于任意固定的k,当n→∞,

\begin{align*} \lim_{n \to \infty}[1 \cdot ({1-{1 \over n})}\cdot ({1-{2 \over n})...(1-{(k+1) \over n})}]=1, \\ \lim_{n \to \infty}(1-{λ \over n})^{n}={\color{purple}e^{-λ}}, \\ \lim_{n \to \infty}(1-{λ \over n})^{-k}=1 \end{align*}

Q.E.D.

泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x₀的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a,b),有

\begin{align*} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{f''(x_0) \over 2!}(x-x_0)^2+...+{f^{(n)}(x_0) \over n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \end{align*}

其中

\begin{align*} R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over ({n+1})!} (x-x_0)^{n+1} \end{align*}

当

\begin{align*} &x_0=0,f(λ)=e^λ \\ &f(λ)=e^λ \\ &= e^0+{(e^0)(λ-0) \over {1!}}+{(e^0)(λ-0)^2 \over {2!}}+{(e^0)(λ-0)^3 \over {3!}}+...+{(e^0)(λ-0)^k \over {k!}} \\ &= \sum_{k=0}^\infty {λ^k\over {k!}} \end{align*}

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11.偏导数(拉普拉斯方程)

2019 年 10 月 28 日分類基础, 数学

拉普拉斯方程：
验证函数

\begin{align*} z=ln \sqrt{x^2+y^2} \end{align*}

满足方程

\begin{align*} {\partial^2{z} \over \partial{x^2}}+{\partial^2{z} \over \partial{y^2}}=0 \end{align*}

证:因为

\begin{align*} z=ln \sqrt{x^2+y^2} =1/2 ln(x^2+y^2) \end{align*}

所以

\begin{align*} {\partial{z} \over \partial{x}}={x \over(x^2+y^2)} \end{align*} \begin{align*} {\partial^2{z} \over \partial{x^2}}={(x^2+y^2)-2x \cdot x \over(x^2+y^2)^2}={y^2-x^2 \over(x^2+y^2)^2} \end{align*} \begin{align*} {\partial{z} \over \partial{y}}={y \over(x^2+y^2)} \end{align*} \begin{align*} {\partial^2{z} \over \partial{y^2}}={(x^2+y^2)-2y \cdot y \over(x^2+y^2)^2}={x^2-y^2 \over(x^2+y^2)^2} \end{align*}

Q.E.D.

验证函数

\begin{align*} u={1 \over r} \end{align*}

满足方程

\begin{align*} {\partial^2{u} \over \partial{x^2}}+{\partial^2{u} \over \partial{y^2}}+{\partial^2{u} \over \partial{z^2}}=0 \end{align*}

其中

\begin{align*} r =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{align*}

证：

\begin{align*} {\partial{u} \over \partial{x}}={-1 \over r^2} \cdot {1 \over {2r}} \cdot 2x=-{x \over r^3} \end{align*} \begin{align*} {\partial^2{u} \over \partial{x^2}}=-{1 \over r^3}+ {3 \over r^4}x \cdot {1 \over {2r}} \cdot 2x=-{1 \over r^3}+{3x^2 \over r^5} \end{align*}

同理

\begin{align*} {\partial^2{u} \over \partial{y^2}}=-{1 \over r^3}+ {3 \over r^4}y \cdot {1 \over {2r}} \cdot 2y=-{1 \over r^3}+{3y^2 \over r^5} \end{align*} \begin{align*} {\partial^2{u} \over \partial{z^2}}=-{1 \over r^3}+ {3 \over r^4}z \cdot {1 \over {2r}} \cdot 2z=-{1 \over r^3}+{3z^2 \over r^5} \end{align*}

于是

\begin{align*} {\partial^2{u} \over \partial{x^2}}+{\partial^2{u} \over \partial{y^2}}+{\partial^2{u} \over \partial{z^2}}={-3 \over r^3}+{(3x^2+3y^2+3z^2) \over r^5}=0 \end{align*}

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10.向量基本概念

2019 年 10 月 28 日分類基础, 数学

一,向量的线性运算

1,向量的加减法

(1)交换律 a+b=B+a;

(2)结合律 (a+b)+c=a+(b+c);

2,向量与数的乘法

(1)结合律

\begin{align*} \lambda (\mu \vec{a}) =\lambda (\mu \vec{a})= (\lambda \mu) \vec{a} \end{align*}

(2)分配律

\begin{align*} (\lambda + \mu)\vec{a} =\lambda \vec{a} + \mu \vec{a} \\ \lambda (\vec{a}+\vec{b}) =\lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} \end{align*}

定理1 设向量a ≠ 0,那么，向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ，使b=λa

向量的模，方向角，投影

向量模的坐标式

\begin{align*} |\vec{AB}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{align*}

A，B两点间距离就是向量AB的模。

\begin{align*} |\vec{AB}|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \end{align*}

方向角和方向余弦

设有两个非零向量a,b,任取空间一点O，
（P298）

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9.Γ函数(gamma函数)

2019 年 10 月 27 日分類基础, 数学

Γ函数：

\begin{align*} \Gamma (s)= \int_0^{+ \infty} e^{-x} x^{(s-1)}dx \ .(s>0) \end{align*}

分别讨论以下两个积分:

\begin{align*} I_1= \int_0^1 e^{-x} x^{(s-1)}dx \ .(s>0) \end{align*} \begin{align*} I_2= \int_1^{+ \infty} e^{-x} x^{(s-1)}dx \ .(s>0) \end{align*}

当s≥1时， $I_1$ 是定积分（s看作定值），当0<s<1时，因为

\begin{align*} e^{-x} \cdot x^{s-1} ={1 \over x^{1-s}} \cdot {1 \over e^x} < {1 \over x^{1-s}} \end{align*}

根据比较审敛法2，反常积分 $I_1$ 收敛。

再讨论 $I_2$ ,因为

\begin{align*} \lim_{x \to + \infty} x^2 \cdot (e^{-x}x^{s-1})= \lim_{x \to + \infty} {x^{s+1} \over e^x}=0 \end{align*}

根据比较审敛法1，反常积分 $I_2$ 收敛。
(最后一步洛必达法则)

Γ函数四个性质:

1.递推公式

\begin{align*} \Gamma (s+1) = s \Gamma (s) (s>0) \end{align*}

证: 应用分部积分法,有

\begin{align*} \Gamma (s+1) &= \int_0^{+ \infty} e^{-x} x^s dx \\ &= - \int_0^{+ \infty} x^s de^{-x} \\ &= -([x^se^{-x}]_0^{+ \infty } -s \int_0^{+ \infty} e^{-x}x^{s-1}dx ) \\ &= 0 + s \int_0^{+ \infty} e^{-x}x^{s-1}dx \\ &= s \Gamma (s) \end{align*}

其中

\begin{align*} \lim_{x \to + \infty } x^se^{-x} =0 \end{align*}

可由洛必达法则求得。
显然:

\begin{align*} \Gamma (1) &=\int_0^{+ \infty} e^{-x}x^{s-1}dx \\ &=\int_0^{+ \infty} e^{-x}dx \\ &=[-e^{-x}]^{+ \infty}_0 \\ &=0-(-1) \\ &=1 \end{align*}

反复运用递推公式有:
对于任意的正整数

\begin{align*} \Gamma (n+1)=n! \end{align*}

所以Gamma函数可以看作阶乘的推广

2.当

\begin{align*} s \to 0^+ \end{align*}

时,

\begin{align*} \Gamma (s) ={\Gamma (s+1) \over s},\Gamma (1)=1 \end{align*}

,所以当

\begin{align*} s \to 0^+,\Gamma (s) \to + {\infty} \end{align*}

$\begin{aligned} \Gamma (s) \Gamma (s-1) ={\pi \over sin \pi s} \ (0<s<1) \end{aligned}$

4.在

\begin{align*} \Gamma (s) = \int_0^{+ \infty} e^{-x} x^{(s-1)}dx \end{align*}

作代换

\begin{align*} x=u^2 \end{align*}

,
有

\begin{align*} \Gamma (s) = \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^{2(s-1)}2udu = 2 \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^{2s-1}du \end{align*}

再令2s-1=t有:

\begin{align*} \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^{2s-1}du = \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^tdu =\Gamma ({t+1 \over 2}) . (t>-1) \end{align*}

上式
令t=0,则s=1/2,得

\begin{align*} 2 \int_0^{+ \infty} e^{-u^2}du =\Gamma({1 \over 2})=\sqrt{\pi} \end{align*}

以上即为高斯积分

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8.反常积分

2019 年 10 月 26 日分類基础, 数学

反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a,+ $\infty$ )上连续，取t>a，如果极限

\begin{align*} \lim_{t \to +\infty} \int_a^tf(x)dx \end{align*}

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+ $\infty$ )上的反常积分,记作

\begin{align*} \int_a^{+\infty}f(x)dx \end{align*}

此时称反常积分收敛。
-无穷大同理，两个无穷大都收敛，则称无穷限的反常积分。

例: 计算反常积分

\begin{align*} \int_0^{+\infty}te^{-pt}dt \end{align*}

(p是常数，p>0)

解:

\begin{align*} \int_0^{+\infty}te^{-pt}dt &= [\int te^{-pt}dt]_0^{+\infty} \\ &= [-1/p\int tde^{e^{-pt}}]_0^{+\infty} \\ &= [-1/p(te^{-pt}-\int e^{-pt}dt)]^{+\infty}_0 \\ &= [-1/p(te^{-pt}+1/pe^{-pt})]_0^{+\infty} \\ &= [-1/pte^{-pt}]_0^{+\infty}-[1/p^2e^{-pt}]_0^{+\infty} \\ &= -1/p \lim_{t \to +\infty}te^{-pt}-0-1/p^2(\lim_{t \to +\infty} e^{-pt}-1) \\ &=1/p^2 \end{align*}

\begin{align*} &\because de^{-pt}/dt=-pe^{-pt} \\ &\therefore dt= {de^{-pt} \over {-pe^{-pt}}}, e^{-pt}dt = {de^{-pt} \over {-p}} \end{align*} \begin{align*} (uv)'=u'v+v'u \end{align*}

定义2 设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点,取t>a，如果极限

\begin{align*} \lim_{t \to a^+} \int_t^bf(x)dx \end{align*}

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(a,b]上的反常积分,记作

\begin{align*} \int_a^bf(x)dx \end{align*}

此时称反常积分收敛。-a同理。

反常积分的审敛法

定理1 设函数f(x)在区间[a,+ $\infty$ )上连续,且f(x)≥0,若函数

\begin{align*} F(x)=\int_a^xf(t)dt \end{align*}

在[a,+ $\infty$ ]上有界，则反常积分

\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(t)dt \end{align*}

收敛

定理2(比较审敛原理) 设函数f(x),g(x)在区间[a,+ $\infty$ )上连续,如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x≤+ $\infty$ ),并且

\begin{align*} \int_a^{+\infty} g(x)dx \end{align*}

收敛，则