定义

微分的基本概念：

\begin{align*} \Delta y &= f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \quad \text{（函数增量）} \\ \Delta y &= A \Delta x + o(\Delta x) \quad \text{（线性近似+高阶无穷小）} \end{align*}

微分表达式：

\begin{align*} dy = y'_x(x)dx = f'(u)g'(x)dx \quad \text{（链式法则微分形式）} \end{align*}

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复合函数的微分法则

乘法法则的微分形式：

\begin{align*} d(uv) &= (uv)'dx \\[5pt] \text{∵}\quad (uv)' &= u'v + v'u \quad \text{（乘积导数法则）} \\[5pt] u'dx &= du \\[5pt] v'dx &= dv \\[5pt] \text{∴}\quad d(uv) &=(u'v+v'u)dx \\ &=u'vdx+v'udx \\ &= vdu + udv \quad \text{（微分乘积法则）} \\ \end{align*}

复合函数示例：

\begin{align*} y &= \sin(2x+1) \\ dy &= d(\sin u) = \cos(2x+1)d(2x+1) \\ &= \cos(2x+1) \cdot 2dx = 2\cos(2x+1)dx \text{（先外函数后内函数）} \end{align*}

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近似计算原理

线性近似公式：

\begin{align*} \text{∵} \Delta y=f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)&\approx dy = f'(x_0)\Delta x \quad \text{（用切线近似函数）} \\[5pt] \text{∴} f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x \\[5pt] for \ x=(x_0 + \Delta x): \\[5pt] f(x) &\approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \quad \text{（泰勒展开一阶项）} \end{align*}

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常用近似公式（当|x|很小时）：

1. n次方根：

   \begin{align*} \sqrt[n]{1+x} \approx f(0) + f'(0)x (x - 0) =1 +(\frac{1}{n})(x) = 1 + \frac{1}{n}x \end{align*}

   如 $$\sqrt{1.02} \approx 1.01$$

2. 正弦函数：

   \begin{align*} \sin x \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + \cos(0)x = x \end{align*}

   小角度时正弦值≈弧度值

3. 正切函数：

   \begin{align*} \tan x &= \frac{\sin x}{\cos x} \\[5pt] \text{∵}\quad \tan'x &= \frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x} = \sec^2x \\[5pt] \text{∴}\quad \tan x &\approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x \end{align*}

   小角度时正切值≈弧度值

4. 指数函数：

   \begin{align*} e^x \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x \end{align*}

   如 $$e^{0.01} \approx 1.01$$

5. 对数函数：

   \begin{align*} \ln(1+x) \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x \end{align*}

   如 $$\ln(1.02) \approx 0.02$$

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对于幂函数：

\begin{align*} &y=x^n \\ &y' = n x^{n-1} \\ &y''=n(n-1)x^{n-2} \\ &...\\ &y^{(m)}=n(n-1)...(n-m+1) x^{(n-m)}=n!/m! x^{(n-m)} \\ if \ n=m: \\ &y^{(n)}=n! \end{align*}

莱布尼兹公式:

\begin{align*} (uv)^{(n)} = \sum^n_{k=0}C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)} \end{align*}

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\begin{align*} (1)\ & [u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \\[10pt] (2)\ & [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\[10pt] (3)\ & \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{align*}

证明

(1) 加减法则

\begin{align*} [u(x) \pm v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) \pm v(x + \Delta x)] - [u(x) \pm v(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) - u(x)] \pm [v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \\ &= u'(x) \pm v'(x) \end{align*}

(2) 乘法法则

\begin{align*} [u(x)v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x + \Delta x) + u(x) \cdot \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right] \\ &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \end{align*}

(3) 除法法则

\begin{align*} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x + \Delta x)} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{[u(x + \Delta x) - u(x)]v(x)}{\Delta x} - \frac{u(x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} }{v(x)v(x + \Delta x)} \\ &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{align*}

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反函数的导数

\begin{align*} [f^{-1}(x)]' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}} = \frac{1}{f'(y)} \end{align*}

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复合函数导数

\begin{align*} y &= f(u) \\ u &= g(x) \\ y &= f[g(x)] \\[10pt] \frac{dy}{dx} &= f'(u) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \end{align*}

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隐函数求导

例1

\begin{align*} x + y^3 - 1 &= 0 \\ 1 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} &= 0 \end{align*}

例2

\begin{align*} e^y + xy - e &= 0 \\ e^y \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} &= 0 \end{align*}

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参数方程导数

运动学示例

\begin{align*} \begin{cases} x = v_1 t \\ y = v_2 t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \end{align*}

一般形式

\begin{align*} \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \end{align*}

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初等函数的导数推导

1. 幂函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)=x^n}$$ 在 $x=a$ 处的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{(x^n-ax^{n-1}) + (ax^{n-1}-a^2x^{n-2}) + \cdots + a^{n-1}x-a^n}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \left[(x^{n-1}) + (ax^{n-2}) + \cdots + a^{n-1}\right] \\ &= \lim_{x\to a} (x^{n-1}) + \lim_{x \to a} (ax^{n-2})...+\lim_{x\to a} a^{n-1} \\ &= na^{n-1} \end{align*} \begin{align*} \therefore f(x)=x^n \\ f'(x) = n x^{n-1} \end{align*}

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2. 正弦函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= \sin x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2\sin\left(\frac{h}{2}\right)\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\right) \\ &= \cos x \end{align*}

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3. 余弦函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= \cos x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(\frac{h}{2}\right)\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= -\lim_{h\to 0} \left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\right) \\ &= -\sin x \end{align*}

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4. 指数函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= a^x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \textcolor{red}{a^x \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}} \\ &= \textcolor{red}{a^x \ln a} \end{align*}

推导关键步骤：
令 $$t = a^h - 1$$，则：

\begin{align*} a=log_a (t+1) \end{align*} \begin{align*} 此时有: \textcolor{red}{ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{\log_a(t+1)} = \ln a} \end{align*}

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5. 对数函数求导

求 $$\textcolor{red}{f(x)= \log_a x}$$ 的导数：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\log_a(x+h) - \log_a x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} {log_a \ {(x+h) \over x} \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{x} \cdot \textcolor{red}{\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}} \\ &\textcolor{red}{= \frac{1}{x \ln a}} \end{align*}

特例：当 $a=e$ 时，

$f(x)= ln \ x$

\begin{align*} & f'(x) =(\ln x)' = \frac{1}{x} \end{align*}

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等比公式：

\begin{align*} S_n=a_1(1-q^n)/(1-q) \end{align*}

等差公式：

\begin{align*} S_n=(a_1+a_n)n/2=na_1+n(n-1)d/2 \end{align*}

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排列组合：

排列

\begin{align*} A^m_n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \end{align*}

组合

\begin{align*} C^m_n={A^m_n \over m!}={n(n-1)(n-2)...(n-m+1)\over m!}={n! \over m!(n-m)!} \end{align*}

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牛顿二项式

\begin{align*} (a+b)^n=\sum^n_{k=0}C^k_nx^k \end{align*}

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三角函数

\begin{align*} \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) \therefore \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \end{align*} \begin{align*} \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)s\in(\beta) \therefore \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) \end{align*}

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对数函数

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e的定义

\begin{align*} \lim_{x\to \infty} (1+{1 \over {n}})^n=e \end{align*}

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数学符号和对应的LaTeX代码：

符号显示	LaTeX代码	符号显示	LaTeX代码
∑	$\sum$	∑_{i=0}^n	$\sum_{i=0}^n$
∏	$\prod$	∏_{i=0}^n	$\prod_{i=0}^n$
×	$\times$	∗	$\ast$
±	$\pm$	÷	$\div$
∣	$\mid$	⋅	$\cdot$
⨀	$\bigodot$	≈	$\approx$
≤	$\leq$	≥	$\geq$
≠	$\neq$	≡	$\equiv$
x̄	$\overline{x}$	x̲	$\underline{x}$
x̂	$\hat{x}$	x̌	$\check{x}$
x̆	$\breve{x}$	↑	$\uparrow$
↓	$\downarrow$	←	$\leftarrow$
→	$\rightarrow$	⇑	$\Uparrow$
⇓	$\Downarrow$	⇐	$\Leftarrow$
⇒	$\Rightarrow$	⟵	$\longleftarrow$
⟶	$\longrightarrow$	⟸	$\Longleftarrow$
⟹	$\Longrightarrow$	∵	$\because$
∴	$\therefore$	∀	$\forall$
∃	$\exists$	y′	$y'$
∫	$\int$	∬	$\iint$
∭	$\iiint$	∮	$\oint$
lim	$\lim$	∞	$\infty$
∇	$\nabla$	⊥	$\bot$
∠30°	$\angle 30^\circ$	sin	$\sin$
cos	$\cos$	tan	$\tan$
cot	$\cot$	sec	$\sec$
csc	$\csc$	log	$\log$
lg	$\lg$	ln	$\ln$
∅	$\emptyset$	∈	$\in$
∉	$\notin$	⊂	$\subset$
⊃	$\supset$	⊆	$\subseteq$
⊇	$\supseteq$	⋂	$\bigcap$
⋃	$\bigcup$	⋁	$\bigvee$
⋀	$\bigwedge$	⨄	$\biguplus$
⨆	$\bigsqcup$

分式与特殊符号

显示	LaTeX代码
1/(2x+1)	$\frac{1}{2x+1}$
1/(2x+1)	${{1} \over {2x+1}}$
du/dx|_{x=0}	`$\left.\frac{du}{dx}\right
∛9	$\sqrt[3]{9}$
√16	$\sqrt{16}$
…	$\ldots$
f(x₁,x₂,…,xₙ)=x₁²+⋯+xₙ²	$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_n^2$
a⃗	$\vec{a}$
∫₀¹ x²dx	$\int_0^1 x^2 dx$
limₙ→∞ 1/[n(n+1)]	$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n(n+1)}$
∑₁ⁿ 1/x²	$\sum_1^n \frac{1}{x^2}$
x∈[0,100]	$x \in [0,100]$
xʸᶻ=(1+eˣ)⁻²ˣʸʷ	$x^{y^z}=(1+e^x)^{-2xy^w}$

分段函数

\begin{align*} y = \begin{cases} x \\ \alpha \end{cases} \end{align*}

LaTeX代码：

1	$$y =\begin{cases} x\\ \alpha \end{cases}$$

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