概率2-连续型随机分布律
1,均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
\begin{align*} f(x)= \begin{cases}{1 \over {b-a}} ,a < x < b,\\0\end{cases} \end{align*}则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X〜U(a,b)
分布函数：
\begin{align*} F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases} \end{align*}2. 指数分布
若连续型随机变量X具有概率密度：
\begin{align*} f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{align*}其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。
易知f(x)≥0，且：
\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}f(x)dx = \left[-e^{-x/\theta}\right]^\infty_0 = 1 \end{align*}分布函数：
\begin{align*} F(x)= \begin{cases} 1-e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{align*}服从指数分布的随机变量X具有无记忆性：
对于任意s,t>0，有
证明：
\begin{align*} P\{X>s+t|X>s\} &= \frac{P\{X>s+t\} \cap P\{X>s\}}{P\{X>s\}} \\ &= \frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}} \\ &= \frac{1-F(s+t)}{1-F(s)} \\ &= \frac{e^{-(s+t)/\theta}}{e^{-s/\theta}} \\ &= e^{-t/\theta} \\ &= P\{X>t\} \end{align*}3. 正态分布
若连续型随机变量X具有概率密度：
\begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{align*}其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布，记为X～N(μ,σ²)。
显然f(x)≥0，下面证明：
\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}f(x)dx = 1 \end{align*}令，则：
\begin{align*} σ=(x-μ)/t, t'(x)=1/σ \end{align*}得到:
\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx &=\int^\infty_{-\infty}{1 \over {\sqrt{2 \pi}}(x-μ)/t}e^{-t^2 \over 2}dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{align*}记：
\begin{align*} I = \int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{align*}则有：
\begin{align*} I^2 = \int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \end{align*}利用极坐标变换：
\begin{align*} I^2 = \int^{2\pi}_0\int^\infty_0 re^{-\frac{r^2}{2}}drd\theta = 2\pi \end{align*}（p55）
附：
计算：
\begin{align*} \iint_D^\infty e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy \end{align*}