１.不放回抽样表达式:

a件产品中抽取n件（不放回），则可能的取法有

\begin{align*} \left( \begin{matrix} a\\ n \\ \end{matrix} \right) =C^n_a=A^n_a/n!= { {a(a-1)...(a-n+1)} \over n!} ={a! \over n!(a-n)!} \end{align*}
伯努利试验,二项分布

设试验E只有两种可能结果:A及非A,则称E为伯努利试验，设P(A)=p (0<p<1),此时P(非A)=1-p.将E独立重复地进行N次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

标记为
X〜b(n,p).

\begin{align*} P\{X = k\}=\left( \begin{matrix} n\\ k \\ \end{matrix} \right) p^k q^{n-k} \end{align*}

当n=1时，化为二项分布：

\begin{align*} P\{X = k\}= p^k q^{1-k} \end{align*} \begin{align*} \sum_{k=0}^n P\{X = k\}=\sum_{k=0}^n {\left( \begin{matrix} n\\ k \\ \end{matrix} \right) } p^k q^{n-k} =(p+q)^n=1 \end{align*}
泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,2而取各个值的概率为

\begin{align*} P\{X=k\}={λ^ke^{-λ} \over {k!}} ,k=0,1,2,..., \end{align*}

其中λ>0是常数.则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X〜π(λ).

易知,P{X=k}≥0,k=0,1,2,…,且有

\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty P\{X = k\}=\sum_{k=0}^\infty {λ^ke^{-λ} \over {k!}}=e^{-λ}\sum_{k=0}^\infty {λ^k\over {k!}}=e^{-λ}e^λ=1 \end{align*}

倒数第二步是泰勒级数(见附表)

泊松定理 设λ>0是一个常数,n是任意正整数,设np=λ,则对于任一固定的非负整数k，有

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\color{red}\lambda^k \color{purple}e^{-\lambda}}{\color{red}k!}. \end{align*}

证 由

\begin{align*} p_n= {λ \over n} \end{align*}

,有

\begin{align*} {\left( \begin{matrix} n\\ k \\ \end{matrix} \right)}p^k_n(1-p_n)^{n-k}&={\color{blue}{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)} \over {\color{red}k!}}{({\color{red}{λ} \over \color{blue}n})^k}{(1-{λ \over n})^{n-k}} \\ &={\color{red}{λ^k \over k!}}{[\color{blue}1 \cdot ({1-{1 \over n})}\cdot ({1-{2 \over n})...(1-{(k+1) \over n})}}]{\color{purple}(1-{λ \over n})^{n}}{(1-{λ \over n})^{-k}} \end{align*}

对于任意固定的k,当n→∞,

\begin{align*} \lim_{n \to \infty}[1 \cdot ({1-{1 \over n})}\cdot ({1-{2 \over n})...(1-{(k+1) \over n})}]=1, \\ \lim_{n \to \infty}(1-{λ \over n})^{n}={\color{purple}e^{-λ}}, \\ \lim_{n \to \infty}(1-{λ \over n})^{-k}=1 \end{align*}

Q.E.D.

泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x₀的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a,b),有

\begin{align*} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{f''(x_0) \over 2!}(x-x_0)^2+...+{f^{(n)}(x_0) \over n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \end{align*}

其中

\begin{align*} R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over ({n+1})!} (x-x_0)^{n+1} \end{align*}

当

\begin{align*} &x_0=0,f(λ)=e^λ \\ &f(λ)=e^λ \\ &= e^0+{(e^0)(λ-0) \over {1!}}+{(e^0)(λ-0)^2 \over {2!}}+{(e^0)(λ-0)^3 \over {3!}}+...+{(e^0)(λ-0)^k \over {k!}} \\ &= \sum_{k=0}^\infty {λ^k\over {k!}} \end{align*}