9.Γ函数(gamma函数)

Γ函数：

\begin{align*} \Gamma (s)= \int_0^{+ \infty} e^{-x} x^{(s-1)}dx \ .(s>0) \end{align*}

分别讨论以下两个积分:

\begin{align*} I_1= \int_0^1 e^{-x} x^{(s-1)}dx \ .(s>0) \end{align*} \begin{align*} I_2= \int_1^{+ \infty} e^{-x} x^{(s-1)}dx \ .(s>0) \end{align*}

当s≥1时，$I_1$ 是定积分（s看作定值），当0<s<1时，因为

\begin{align*} e^{-x} \cdot x^{s-1} ={1 \over x^{1-s}} \cdot {1 \over e^x} < {1 \over x^{1-s}} \end{align*}

根据比较审敛法2，反常积分$I_1$收敛。

再讨论$I_2$,因为

\begin{align*} \lim_{x \to + \infty} x^2 \cdot (e^{-x}x^{s-1})= \lim_{x \to + \infty} {x^{s+1} \over e^x}=0 \end{align*}

根据比较审敛法1，反常积分$I_2$收敛。
(最后一步洛必达法则)

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Γ函数四个性质:

1.递推公式

\begin{align*} \Gamma (s+1) = s \Gamma (s) (s>0) \end{align*}

证: 应用分部积分法,有

\begin{align*} \Gamma (s+1) &= \int_0^{+ \infty} e^{-x} x^s dx \\ &= - \int_0^{+ \infty} x^s de^{-x} \\ &= -([x^se^{-x}]_0^{+ \infty } -s \int_0^{+ \infty} e^{-x}x^{s-1}dx ) \\ &= 0 + s \int_0^{+ \infty} e^{-x}x^{s-1}dx \\ &= s \Gamma (s) \end{align*}

其中

\begin{align*} \lim_{x \to + \infty } x^se^{-x} =0 \end{align*}

可由洛必达法则求得。
显然:

\begin{align*} \Gamma (1) &=\int_0^{+ \infty} e^{-x}x^{s-1}dx \\ &=\int_0^{+ \infty} e^{-x}dx \\ &=[-e^{-x}]^{+ \infty}_0 \\ &=0-(-1) \\ &=1 \end{align*}

反复运用递推公式有:
对于任意的正整数

\begin{align*} \Gamma (n+1)=n! \end{align*}

所以Gamma函数可以看作阶乘的推广

2.当

\begin{align*} s \to 0^+ \end{align*}

时,

\begin{align*} \Gamma (s) ={\Gamma (s+1) \over s},\Gamma (1)=1 \end{align*}

,所以当

\begin{align*} s \to 0^+,\Gamma (s) \to + {\infty} \end{align*}

$\begin{aligned} \Gamma (s) \Gamma (s-1) ={\pi \over sin \pi s} \ (0<s<1) \end{aligned}$

4.在

\begin{align*} \Gamma (s) = \int_0^{+ \infty} e^{-x} x^{(s-1)}dx \end{align*}

作代换

\begin{align*} x=u^2 \end{align*}

,
有

\begin{align*} \Gamma (s) = \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^{2(s-1)}2udu = 2 \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^{2s-1}du \end{align*}

再令2s-1=t有:

\begin{align*} \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^{2s-1}du = \int_0^{+ \infty} e^{-u^2} u^tdu =\Gamma ({t+1 \over 2}) . (t>-1) \end{align*}

上式
令t=0,则s=1/2,得

\begin{align*} 2 \int_0^{+ \infty} e^{-u^2}du =\Gamma({1 \over 2})=\sqrt{\pi} \end{align*}

以上即为高斯积分