8.反常积分
反常积分
定义1 设函数f(x)在区间[a,+)上连续，取t>a，如果极限
\begin{align*} \lim_{t \to +\infty} \int_a^tf(x)dx \end{align*}存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的反常积分,记作
\begin{align*} \int_a^{+\infty}f(x)dx \end{align*}此时称反常积分收敛。
-无穷大同理，两个无穷大都收敛，则称无穷限的反常积分。
例: 计算反常积分
\begin{align*} \int_0^{+\infty}te^{-pt}dt \end{align*}(p是常数，p>0)
解:
\begin{align*} \int_0^{+\infty}te^{-pt}dt &= [\int te^{-pt}dt]_0^{+\infty} \\ &= [-1/p\int tde^{e^{-pt}}]_0^{+\infty} \\ &= [-1/p(te^{-pt}-\int e^{-pt}dt)]^{+\infty}_0 \\ &= [-1/p(te^{-pt}+1/pe^{-pt})]_0^{+\infty} \\ &= [-1/pte^{-pt}]_0^{+\infty}-[1/p^2e^{-pt}]_0^{+\infty} \\ &= -1/p \lim_{t \to +\infty}te^{-pt}-0-1/p^2(\lim_{t \to +\infty} e^{-pt}-1) \\ &=1/p^2 \end{align*}\begin{align*} &\because de^{-pt}/dt=-pe^{-pt} \\ &\therefore dt= {de^{-pt} \over {-pe^{-pt}}}, e^{-pt}dt = {de^{-pt} \over {-p}} \end{align*} \begin{align*} (uv)'=u'v+v'u \end{align*}
定义2 设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点,取t>a，如果极限
\begin{align*} \lim_{t \to a^+} \int_t^bf(x)dx \end{align*}存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(a,b]上的反常积分,记作
\begin{align*} \int_a^bf(x)dx \end{align*}此时称反常积分收敛。-a同理。
反常积分的审敛法
定理1 设函数f(x)在区间[a,+)上连续,且f(x)≥0,若函数
\begin{align*} F(x)=\int_a^xf(t)dt \end{align*}在[a,+]上有界，则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(t)dt \end{align*}收敛
定理2(比较审敛原理) 设函数f(x),g(x)在区间[a,+)上连续,如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x≤+),并且
\begin{align*} \int_a^{+\infty} g(x)dx \end{align*}收敛，则
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}也收敛;如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x≤+)，并且
\begin{align*} \int_a^{+\infty} g(x)dx \end{align*}发散，则
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}也发散.
定理3(比较审敛法1) 设函数f(x)在区间[a,+)上连续,且f(x)≥0,如果存在常数M>0及p>1,使得
\begin{align*} f(x) \le {M \over x^p} (a \le x< + \infty ) \end{align*}则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}收敛;如果存在常数N>0,使得
则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}发散.
定理4(极限审敛法1) 设函数f(x)在区间[a,+)上连续,且f(x)≥0,如果存在常数p>1,使得
\begin{align*} \lim_{x \to + \infty }x^pf(x) \end{align*}存在,则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}收敛;如果
\begin{align*} \lim_{x \to + \infty }xf(x)=d>0 \end{align*}或
\begin{align*} \lim_{x \to + \infty }xf(x)=+ \infty \end{align*},则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}发散
定理5 设函数f(x)在区间[a,+)上连续,如果反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} |f(x)|dx \end{align*}收敛，则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}收敛.
定理6(比较审敛法2) 设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕玷.如果存在常数M>0及q<1,使得
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \le {M \over (x-a)^q} (a < x \le b), \end{align*}则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}收敛.
如果存在常数N>0,使得
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \ge {N \over (x-a)} (a < x \le b), \end{align*}则反常积分
\begin{align*} \int_a^{+\infty} f(x)dx \end{align*}发散.
定理7(极限审敛法2) 设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且f(x)≥0,x=a为f(x)的瑕点如果存在常数0<q<1,使得
\begin{align*} \lim_{x \to a^+ }(x - a )^qf(x) \end{align*}存在,则反常积分
\begin{align*} \int_a^b f(x)dx \end{align*}收敛;如果
\begin{align*} \lim_{x \to + a^+ }(x-a)f(x)=d>0 \end{align*}或
\begin{align*} \lim_{x \to + a^+ }(x-a)f(x)=+ \infty \end{align*},则反常积分
\begin{align*} \int_a^b f(x)dx \end{align*}发散
