7.定积分
定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
\begin{align*} a={x_0}<{x_1}<{x_2}<...<{x_{n-1}}<{x_n}=b \end{align*}把区间[a,b]分成n个小区间
\begin{align*} [x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n], \end{align*}各个小区间的长度依次为
\begin{align*} \Delta x_1 = x_1-x_0,\Delta x_2 = x_2-x_1,...,\Delta x_n = x_n-x_{n-1}, \end{align*}在每个小区间
\begin{align*} [x_n,x_{n-1}], \end{align*}上任取一点ξ(ξ∈[xi-1,xi],作函数f(ξ)与小区间长度Δxi的乘积f(ξ)Δxi(i),并作出和
\begin{align*} S= \sum_{i=1}f(\xi_i) \Delta x_i \end{align*}定积分基本性质
(1)当a=b时,
\begin{align*} \int^b_a f(x)dx=0 \end{align*}(2)当a>b时,
\begin{align*} \int^b_a f(x)dx= - \int^a_b f(x)dx \end{align*}性质1
\begin{align*} \int^b_a [f(x) \pm g(x)]dx = \int^b_a f(x) \pm \int^b_a g(x)dx \end{align*}性质2
\begin{align*} \int^b_a kf(x)dx = k \int^b_a f(x)dx \end{align*}性质3
设a<c<b,则
\begin{align*} \int^b_a f(x)dx = \int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx \end{align*}性质4
如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则
\begin{align*} \int^b_a 1dx = \int^b_a dx=b-a \end{align*}性质5
如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则
\begin{align*} \int^b_a f(x)dx \ge 0 (a < b) \end{align*}积分上限函数及其导数
设函数f(t)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点。在[a,b]定义一个函数，记作
\begin{align*} \Phi (x)= \int^x_a f(t)dt (a \le x \le b ) \end{align*}定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数
\begin{align*} \Phi (x)= \int^x_a f(t)dt \end{align*}在[a,b]上可导,并且它的导数是
\begin{align*} \Phi' (x)={d \over dx} \int^x_a f(t)dt =f(x) (a \le x \le b ) \end{align*}证 若x∈(a,b),设x获得增量Δx,其绝对值足够地小，使得x+Δx∈(a,b),
则Φ（x）在x+Δx∈处的函数值为
由此得函数的增量为
\begin{align*} \Phi (x+\Delta x)-\Phi (x) &= \int^{x+\Delta x}_a f(t)dt - \int^{x}_a f(t)dt \\ &= \int^x_a f(t)dt+\int^{x+\Delta x}_x f(t)dt - \int^{x}_a f(t)dt \\ &= \int^{x+\Delta x}_x f(t)dt \end{align*}应用积分中值定理有等式
ΔΦ(x)=f(ξ)Δx
即：
由于f(x)在[a,b]上连续，当Δx→0，ξ→x,因此
\begin{align*} \lim_{\Delta x\to 0}f(ξ)=f(x) \end{align*}两端取极限即可。
定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数
\begin{align*} \Phi (x)= \int^x_a f(t)dt \end{align*}就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
牛顿-莱布尼茨公式
定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
\begin{align*} \int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a). \ \ (1) \end{align*}证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限函数
\begin{align*} \Phi (x)= \int^x_a f(t)dt \ \ (2) \end{align*}也是f(x)的一个原函数.于是这两个原函数之差F(x)-Φ(x)在[a,b]上必定是一个常数C，即
差
F(x)-Φ(x)=C (a≤x≤b) (3)
令x=a.得F(a)-Φ(a)=C,由定理2，得Φ(a)=0，因此F(a)=C,代入式(1),F(a)代入式(3)得
\begin{align*} F(x)- \int^x_a f(t)dt =F(a) \\ \therefore \int^x_a f(t)dt =F(x)-F(a) \end{align*}将x=b代入，即式（1）
也记为
\begin{align*} \therefore \int^b_a f(x)dx =[F(x)]_a^b \end{align*}