6.不定积分
基本积分表
\begin{align*} 1. &\int kdx = kx +C \\ 2. &\int x^n dx = {x^{n+1} \over {\mu +1}} +C \ (\mu \neq -1) \\ 3. &\int {dx \over x} = ln|x| +C \\ 4. &\int {dx \over {1+x^2}} = arctan x +C \\ 5. &\int {dx \over \sqrt {1+x^2}} = arcsin x +C \\ 6. &\int cosx \ dx = sin \ x + C \\ 7. &\int sinx \ dx = -cos \ x +C \\ 8. &\int {dx \over cos^2 x} = \int sec^2 x dx=tan x + C \\ 9. &\int {dx \over sin^2 x} = \int sec^2 x dx=-cot x + C \\ 10. &\int sec x \ tanx \ dx = sec x + C \\ 11. &\int csc x \ cot x \ dx = -csc x +C \\ 12. &\int e^x dx =e^x + C \\ 13. &\int a^x dx = {a^x \over ln \ a} + C \\ 14. &\int sh \ x \ dx = ch \ x + C \\ 15. &\int ch \ x \ dx = sh \ x + C \end{align*}不定积分的性质:
性质1 设函数 f(x)及g(x)的原函数存在，则
\begin{align*} \int [f(x)+g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx \end{align*}性质2 设函数 f(x)及g(x)的原函数存在，则
\begin{align*} \int kf(x)dx = k \int f(x)dx \end{align*}换元积分法
1，第一类换元积分法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ψ(x)可导,则有换元公式
\begin{align*} \int f[ \psi(x)]\psi '(x)dx =[\int f(u)du]_{u=\psi(x)} \end{align*}2，第二类换元积分法
定理2 设x=ψ(t) 是单调的，可导的函数,并且ψ’(t)≠0.又设f[ψ(t)]ψ’(t)具有原函数,则有换元公式
\begin{align*} \int f(x)dx = [ \int f[ \psi (t)] \psi ' (t)dt]_{t=\psi ^{-1} (x)} \end{align*}其中
\begin{align*} \psi ^{-1} (x) \end{align*}是x=ψ(t)的反函数.
证 设f[ψ(t)]ψ’(t)的原函数为Ψ(t),记
\begin{align*} Ψ[ψ^{-1}(x)] = F(x) \end{align*}，利用复合函数及反函数的求导法则，得到
\begin{align*} F'(x) = {\color{red}{d \Psi \over dt}} \cdot {\color{blue}{dt \over dx}} = {\color{red}f[ \psi(t) ] \psi'(t)} \cdot {\color{blue}{1 \over \psi'(t)}} = f[\psi (t)]=f(x) \end{align*}