5.微分中值定理

费马定理

\begin{align*} {设函数}f(x) {在点} x_0 {的某邻域} U(x_0) {内有定义，且在} x_0 {处可导。若对任意} x \in U(x_0) \end{align*}

有：

\begin{align*} f(x) \leq f(x_0) \quad \text{（或} \ f(x) \geq f(x_0)\text{）} \end{align*}

则：

\begin{align*} f'(x_0) = 0 \end{align*}

证明：
对于

\begin{align*} x_0 + \Delta x \in U(x_0)， \end{align*}

有

\begin{align*} f(x_0 + \Delta x) \leq f(x_0) \\ \end{align*}

当 $$\Delta x > 0$$ 时：

\begin{align*} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \leq 0 \quad \text{（右导数非正）} \end{align*}

当 $$\Delta x < 0$$ 时：

\begin{align*} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \geq 0 \quad \text{（左导数非负）} \end{align*}

由可导性知左右导数相等，故 $$f’(x_0) = 0$$。

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罗尔定理

若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 \xi{(a < ξ < b)} 使得 $f'(\xi) = 0$。

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拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b) 使等式

\begin{align*} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \end{align*}

成立

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证:

1. 构造辅助函数ψ(x)，等于f(x)曲线跟直线AB之间的垂直距离:

有

$\psi(a)=\psi(b)=0$

设直线AB的方程为y=L(x),则

\begin{align*} L(x) = f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \end{align*}

由于M,N的纵坐标为f(x)及L(x)，有:

\begin{align*} \psi(x)=f(x)-L(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right] \quad (1) \end{align*}

2. 验证罗尔定理条件:

• ψ(x)在[a,b]上连续
• ψ(x)在(a,b)内可导
• ψ(a)=ψ(b)=0

对(1)式求导:

\begin{align*} \psi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}

3. 应用罗尔定理:
   在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)使得ψ’(ξ)=0,即:

\begin{align*} f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \end{align*}

从而得到:

\begin{align*} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \quad (2) \end{align*}

4. 推论:
   如果函数f(x)在区间I上的导数恒为0，那么f(x)在区间I上是一个常数。

证明:
由(2)式，当$ f’(ξ)=0 $时，有f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)。由于a,b是I上任意两点，故f(x)在I上为常数。

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注:

1. 式(2)表明存在点ξ处的切线斜率等于弦AB的斜率
2. 辅助函数ψ(x)的构造是关键，它表示曲线与弦的垂直距离
3. 当f(a)=f(b)时，即为罗尔定理的特殊情形

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柯西中值定理

若函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $\forall x \in (a,b), F'(x) \neq 0$，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得：

\begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \quad \text{（两函数变化率之比相等）} \end{align*}

证:
f(x),F(x)应用(2)式，上下一除即可

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洛必达法则

定理1（$x \to a$ 型）：
若：

\begin{align*} &1. \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} F(x) = 0 ； \\ &2. 在 a 的去心邻域内 f'(x), F'(x) 存在且 F'(x) \neq 0； \\ &3. \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} 存在（或为无穷大）， \\ \end{align*}

则：

\begin{align*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)} \end{align*}

定理2（$x \to \infty$ 型）：
将定理1中的 $x \to a$ 改为 $x \to \infty$，条件类似。

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重要极限例子

1. 对数函数与幂函数：

\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^n} &= \lim_{x \to \infty} {f'(x) \over F'(x)} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{n x^{n-1}} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n x^n} \\ &= 0 \quad \text{（对数增长慢于幂函数）} \end{align*}

2. 幂函数与指数函数：

\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^{\lambda x}} &= \lim_{x \to \infty} {f'(x) \over F'(x)} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{\lambda e^{\lambda x}} \\ &= \cdots \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{\lambda^n e^{\lambda x}} \\ &= 0 \quad \text{（指数增长快于幂函数）} \end{align*}

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泰勒公式

泰勒中值定理：

\begin{align*} 若 f(x) 在含 x_0 的开区间 (a,b) 内有直到 (n+1) 阶导数，则对任意 x \in (a,b) 有： \end{align*} \begin{align*} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots \\ &\quad + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \end{align*}

其中余项：

\begin{align*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \quad \text{（$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）} \end{align*}