1.初等函数的导数推导
初等函数的导数推导
1. 幂函数求导
求 $$\textcolor{red}{f(x)=x^n}$$ 在 处的导数：
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{(x^n-ax^{n-1}) + (ax^{n-1}-a^2x^{n-2}) + \cdots + a^{n-1}x-a^n}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \left[(x^{n-1}) + (ax^{n-2}) + \cdots + a^{n-1}\right] \\ &= \lim_{x\to a} (x^{n-1}) + \lim_{x \to a} (ax^{n-2})...+\lim_{x\to a} a^{n-1} \\ &= na^{n-1} \end{align*} \begin{align*} \therefore f(x)=x^n \\ f'(x) = n x^{n-1} \end{align*}2. 正弦函数求导
求 $$\textcolor{red}{f(x)= \sin x}$$ 的导数：
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2\sin\left(\frac{h}{2}\right)\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\right) \\ &= \cos x \end{align*}3. 余弦函数求导
求 $$\textcolor{red}{f(x)= \cos x}$$ 的导数：
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(\frac{h}{2}\right)\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= -\lim_{h\to 0} \left(\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\right) \\ &= -\sin x \end{align*}4. 指数函数求导
求 $$\textcolor{red}{f(x)= a^x}$$ 的导数：
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \textcolor{red}{a^x \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}} \\ &= \textcolor{red}{a^x \ln a} \end{align*}推导关键步骤：
令 $$t = a^h - 1$$，则：
5. 对数函数求导
求 $$\textcolor{red}{f(x)= \log_a x}$$ 的导数：
\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} {f(x+h)-f(x) \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\log_a(x+h) - \log_a x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} {log_a \ {(x+h) \over x} \over h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{x} \cdot \textcolor{red}{\frac{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}} \\ &\textcolor{red}{= \frac{1}{x \ln a}} \end{align*}特例：当 时，
\begin{align*} & f'(x) =(\ln x)' = \frac{1}{x} \end{align*}
